6 Sifat Distribusi Normal yang Perlu Diketahui oleh Mahasiswa Ekonomi

FKP dari Variabel Acak yang Bersifat Kontinu
Gambar 1.1 FKP dari Variabel Acak yang Bersifat Kontinu

Situs Ekonomi - Mungkin distribusi porbabilitas yang paling penting menyangkut v.a. (variabel acak) yang bersifat kontinu adalah distribusi normal. Bentuknya yang menyerupai lonceng, sebagaimana yang ditampakkan pada Gambar 1.1, agaknya cukup dikenal oleh setiap orang yang memiliki sedikit pengetahuan tentang statistik.

Gujarati (2006: 67-68) mengatakan bahwa distribusi normal merupakan model yang cukup baik bagi v.a. yang bersifat kontinu yang nilainya tergantung pada sejumlah faktor, di mana masing-masing faktor memiliki pengaruh negatif atau positif yang relatif kecil. Jadi, pertimbangkanlah v.a. berat badan.

Variabel ini kemungkinan besar didistribusikan secara normal karena faktor-faktor seperti keturunan, struktur tulang, diet, olah raga, dan metabolisme masing-masing diperkirakan mempunyai pengaruh terhadap berat badan. Namun, tak ada satu faktor pun yang pengaruhnya lebih besar daripada faktor-faktor lainnya. Demikian pula, variabel-variabel seperti tinggi badan dan peringkat rata-rata kelas juga diketahui didistribusikan secara normal.

Untuk memudahkan dalam memberi notasi, kita nyatakan v.a. X yang didistribusikan secara normal sebagai
di mana N dinyatakan sebagai distribusi normal, dan notasi di dalam tanda kurung dinyatakan sebagai parameter distribusi, yakni, nilai rata-rata atau nilai harapan (populasi)-nya µx dan variansnya σ_x^2. Oleh karena itu, perhatikanlah bahwa X merupakan v.a. yang bersifat kontinu dan dapat memiliki nilai antara -∞ sampai ∞.

Adapun sifat-sifat dari distribusi normal adalah sebagai berikut:

1. Kurva distribusi normal, sebagaimana yang ditunjukkan pada Gambar 1.1, memiliki titik yang simetris di sekitar nilai rata-ratanya µx.

2. FKP (fungsi kepadatan probabilitas) dari v.a. yang didistribusikan secara normal memiliki titik tertinggi sebesar nilai rata-ratanya tetapi memiliki titik terendah pada bagian kakinya (yaitu, di bagian bawah kaki distribusi probabilitas ini). Dengan kata lain, probabilitas untuk mendapatkan nilai v.a. yang didistribusikan secara normal, makin jauh dari nilai rata-ratanya maka nilai tersebut semakin lama makin kecil. Sebagai contoh, probabilitas bagi seseorang untuk mencapai tinggi badan lebih dari 7,5 kaki sangatlah kecil.

3. Pada kenyataannya, sebagaimana yang ditunjukkan pada Gambar 1.2, sekitar 68 persen dari luas daerah di bawah kurva normal terletak di antara nilai-nilai (µ± σx), kira-kira 95 persen dari luas wilayah tadi terletak di antara (µ± 2σx), dan kira-kira 99,7 persen dari luas wilayah tadi terletak di antara (µ± 3σx). Oleh karena itu, luas seluruh daerah di bawah kurva normal adalah 1 bagian atau 100 persen.
Luas Daerah di Bawah Kurva Normal
Gambar 1.2 Luas Daerah di Bawah Kurva Normal

4. Distribusi normal ditentukan sepenuhnya oleh kedua parameternya, yaitu µdan σ_x^2. Sebenarnya, untuk menghitung probabilitas dari X terdapat rumus matematikanya. Namun, untungnya hal itu tidak diperlukan karena pakar ekonometri telah menyediakan tabel tersendiri mengenai hal ini. Dengan demikian, kita hanya tinggal melihatnya saja.

5. Kombinasi linear (fungsi) dari dua (atau lebih) variabel acak yang didistribusikan secara normal akan dengan sendirinya didistribusikan secara normal. Ini merupakan sifat terpenting dari distribusi normal dalam ekonometrika. Guna mengilustrasikannya, maka kita misalkan
dan asumsikan bahwa X dan Y tidak terikat satu sama lain. Ingatlah bahwa dua variabel didistribusikan secara normal apabila FKP (FMP) gabungan kedua variabel itu merupakan hasil kali dari FKP marjinal tiap-tiap variabel, dalam hal ini, f(X, Y) = f(X) f(Y), untuk semua nilai X dan Y.

Sekarang, pertimbangkan kombinasi linear dari kedua variabel tersebut: W = aX + bY, di mana a dan b adalah konstanta (misalkan, W = 2X + 4Y); maka
di mana
Perhatikan bahwa dalam persamaan (1.3), kita menggunakan beberapa sifat operator nilai harapan E dan varians dari variabel acak yang tak terikat satu sama lain. Sedangkan untuk persamaan (1.2) dapat diperluas secara langsung menjadi kombinasi linear dari lebih dua variabel acak normal (Gujarati, 2006: 69).

6. Pada distribusi normal, kemencengan (S)-nya adalah nol, sedangkan peruncingan (K)-nya adalah 3.

Contoh:

Kita misalkan bahwa X adalah jumlah Laptop Lenovo yang terjual tiap harinya di Toko Acer. Sementara Y adalah jumlah Laptop Lenovo yang terjual tiap harinya di Toko Lenovo. Kemudian, kita asumsikan bahwa baik X ataupun Y didistribusikan secara normal tanpa saling terikat satu sama lain, di mana X ~ N (100, 64) dan Y ~ N (150, 81). Lalu, berapakah nilai rata-rata Laptop Lenovo yang terjual dalam dua hari di kedua Toko Elektonik tersebut beserta dengan varians dari penjualannya? Di sini, W = 2X + 2Y. Oleh karena itu, berdasarkan persamaan (1.3) kita memperoleh E(W) = E(2X + 2Y) = 500 dan var (W) = 4 var(X) + 4 var(Y) = 580. Dengan demikian, W didistribusikan secara normal dengan nilai rata-rata 500 dan varians 580: [W ~ N(500, 580)]

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel