Dalil-dalil Operasi Himpunan

Diagram Venn
Gambar 1.1: Diagram Venn

Situs Ekonomi - Dari gambar di atas, kita dapat melihat bahwa daerah yang berwarna putih polos pada diagram (a) tidak hanya menunjukkan AB, tetapi juga BA. Hal yang sama berlaku untuk diagram (b), di mana daerah yang diarsir berwarna biru tidak hanya menunjukkan AB, tetapi juga BA.

Apabila dirumuskan, hasilnya merupakan hukum komutatif dari gabungan dan irisan:
A  B = B  A  A  B = B  A.
Hubungan ini sama dengan dalil aljabar a + b = b + a dan a × b = b × a.

Hasil Operasi Gabungan dan Irisan
Gambar 1.2: Hasil Operasi Gabungan dan Irisan

Untuk memperoleh gabungan dari tiga himpunan A, B, dan C, kita terlebih dahulu mencari gabungan dari dua himpunan manapun, kemudian hasil gabungan digabungkan dengan himpunan yang ketiga; cara yang sama dapat diterapkan untuk operasi irisan. Hasil operasi semacam ini digambarkan dalam Gambar 1.2.

Sangat menarik bahwa urutan himpunan yang dipilih dalam operasi tidaklah penting. Kenyataan ini menimbulkan hukum asosiatif dari gabungan dan irisan:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
Persamaan ini mengingatkan pada hukum aljabar a + (b + c) = (a + b) + c dan a × (b × c) = (a × b) × c.

Juga ada hukum yang dipakai jika gabungan dan irisan digunakan dalam kombinasi. Hukum ini adalah hukum distributif dari gabungan dan irisan:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Ini menyerupai hukum aljabar a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Contoh: Buktikan hukum distributif jika diketahui A = {4, 5}, B = {3, 6, 7}, dan C = {2, 3}. Untuk membuktikan bagian pertama hukum ini, kita tunjukkan pernyataan sebelah kiri dan sebelah kanan secara terpisah:
Kiri: A  (B  C) = {4, 5}  {3} = {3, 4, 5}
Kanan: (A  B (A  C) = {3, 4, 5, 6, 7}  {2, 3, 4, 5} = {3, 4, 5}.

Karena kedua sisi memberikan hasil yang sama, maka hukum tersebut terbukti. Cara yang sama juga digunakan untuk bagian kedua hukum distributif, di mana kita peroleh:
Kiri: A  (B  C) = {4, 5}  {2, 3, 6, 7} = ∅
Kanan: (A  B (A  C) = ∅  ∅ = ∅.
Jadi, hukum tersebut kembali terbukti.

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel