3 Contoh Seputar Dalil-dalil Limit

Dalil-dalil Limit

Situs Ekonomi - Perhatian kita terhadap tingkat perubahan membawa kita untuk meninjau konsep derivatif yang -- karena mempunyai sifat limit dari suatu hasil bagi perbedaan -- akan mendorong kita untuk mempelajari pertanyaan-pertanyaan mengenai penilaian dan adanya suatu limit. Proses dasar penilaian limit, yakni
(La1, La2) ≡ {q | La1 < q < La2(1.1)
melibatkan variabel v yang mendekati suatu bilangan khusus (katakanlah, N) dan mengamati nilai yang didekati q. Namun dalam menilai limit suatu fungsi, kita mungkin mendapatkan dalil-dalil limit tertentu, yang secara material mempermudah penyelesaian, terutama untuk fungsi yang rumit (Chiang, 2005: 132).

Dalil-dalil yang Melibatkan Fungsi Tunggal

Jika fungsi tunggal q = g(v) dilibatkan, maka dalil-dalil berikut dapat dipakai.
Dalil I  Bila q = av +b, maka
Dalil-dalil yang Melibatkan Fungsi Tunggal

Contoh 1

Jika diketahui q = 3v + 5, kita peroleh
Dengan cara yang sama,

Dalil II  Bila q = g(v) = b, maka
Dalil ini, yang menyatakan bahwa limit suatu fungsi konstan adalah konstanta dalam fungsi tersebut, hanyalah kasus khusus dari Dalil I, dengan a = 0 (Chiang, 2005: 133).

Dalil III  Bila q = v, maka
Bila qvk, maka

Contoh 2

Jika diketahui qv3, kita peroleh
Anda dapat memperhatikan bahwa, dalam ketiga dalil-dalil di atas, apa yang dikerjakan dalam mencari limit q untuk v → N adalah perlu menganggap v = N. Tetapi ini merupakan kasus khusus, dan hal itu tidak meniadakan aturan umum bahwa "v → N" bukan berarti "v = N".

Dalil-dalil yang Melibatkan Dua Fungsi

Bila kita mempunyai dua fungsi dari variabel bebas v yang sama, q1 = g(v) dan q2 = h(v), dan bila kedua fungsi itu memiliki limit sebagai berikut:
Dalil-dalil yang Melibatkan Dua Fungsi
di mana L1 dan L2 keduanya adalah bilangan hingga (finite), maka dalil berikut ini dapat dipakai.

Dalil IV (dalil limit jumlah selisih)
dalil limit jumlah selisih
Limit suatu jumlah (selisih) dari dua fungsi adalah jumlah (selisih) dari limit masing-masing.

Secara khusus, kita perhatikan bahwa
yang sejalan dengan Dalil I.

Dalil V (dalil limit hasil perkalian)
dalil limit hasil perkalian
Limit hasil perkalian dua fungsi adalah hasil perkalian limit-limit lainnya.

Pemakaian pada fungsi kuadrat akan memberikan
yang sejalan dengan Dalil III.

Dalil VI (dalil limit hasil bagi)
dalil limit hasil bagi
Limit hasil bagi (quotient) dan dua fungsi adalah hasil bagi limit-limitnya. Tentu saja, limit L2 tidak diperkenankan menjadi nol; kalau tidak hasil baginya tidak dapat ditentukan (Chiang, 2005: 134).

Contoh 3

Carilah
Karena di sini kita peroleh
maka limit yang dicari adalah 1/2.

Ingat bahwa L1 dan L2 merupakan bilangan hingga; kalau tidak dalil-dalil ini tidak dapat dipakai. Selanjutnya, dalam kasus Dalil VI, L2 juga harus tidak nol. Bila pembatasan ini tidak dipenuhi, kita harus kembali pada metode penilaian limit, di mana L2 menjadi nol dan L2 menjadi tak terhingga.

Limit Fungsi Polinom

Dengan dalil limit di atas, kita dapat dengan mudah menilai limit dari setiap fungsi polinom
q = g(v) = a0 + a1va2v2 + ... + anvn  (1.2)
untuk v mendakati bilangan N. Karena limit-limit untuk suku-suku yang terpisah masing-masing adalah
limit fungsi polinom adalah (dengan dalil limit penjumlahan)
Limit ini sebenarnya juga sama dengan g(N), yakni sama dengan nilai fungsi dalam (1.2) bila v = N. Hasil khusus ini akan terbukti penting dalam pembahasan konsep kontinuitas fungsi polinom.

Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay 

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel