Aturan Fungsi Pangkat

Aturan Fungsi Pangkat

Situs Ekonomi - Derivatif fungsi pangkat (power function) y = f (x) = xn adalah nxn-1. Secara simbolis, hal ini diekspresikan sebagai

Contoh 1  Derivatif yx3 adalah

Contoh 2  Derivatif yx9 adalah

Aturan ini valid untuk setiap pangkat dengan nilai riil dari x; yaitu, pangkatnya dapat berbentuk setiap bilangan riil. Tetapi kita hanya akan membuktikannya untuk kasus di mana n adalah beberapa bilangan bulat positif. Dalam kasus yang sederhana, yakni n = 1, fungsinya adalah f (x) = x, dan menurut aturan, derivatifnya adalah

Pembuktian atas hasil ini dapat dengan mudah diikuti dari definisi f''(N) dalam persamaan
Jika diketahui f (x) = x, maka nilai derivatif dari setiap nilai x, katakanlah x = N, adalah,

Karena N merupakan setiap nilai x, maka diperbolehkan untuk menulis f'(x) = 1. Hal ini membuktikan aturan untuk kasus n = 1. Jika hasilnya dibuktikan secara grafis, dapat kita lihat bahwa fungsi y = f (x) = x digambarkan sebagai garis 45o, dan mempunyai kemiringan sebesar +1 (Chiang, 2005: 142).

Untuk kasus bilangan bulat yang lebih besar, yakni n = 2, 3, ..., pertama mari kita perhatikan identitas berikut:
Berdasarkan (1.3), kita dapat mengekspresikan derivatif fungsi pangkat f (x) = xn pada x = N sebagai berikut:
Sekali lagi, N adalah setiap nilai x; jadi untuk hasil terakhir ini dapat dibuat rumusan umum dengan
f'(x) = nxn-1
yang membuktikan aturan untuk n, yaitu bilangan bulat positif mana pun (Chiang, 2005: 143).

Seperti telah disebutkan sebelumnya, aturan ini juga dipakai jika eksponen n dalam pernyataan atau ekspresi pangkat xn bukan merupakan bilangan bulat positif. Contoh berikut menunjukkan aplikasinya pada kasus yang terakhir.

Contoh 3  Carilah derivatif yx0. Dengan menggunakan (1.1), kita peroleh

Contoh 4  Carilah derivatif y = 1/x3. Hal ini melibatkan kebalikan suatu pangkat, tetapi dengan menulis kembali fungsinya sebagai yx-3, kita kembali dapat memakai (1.1) untuk memperoleh derivatif:

Contoh 5  Carilah derivatif y = √x. Dalam kasus ini dilibatkan suatu akar kuadrat, tetapi karena √xx1/2, maka derivatifnya dapat diperoleh sebagai berikut:

Derivatif itu sendiri merupakan fungsi dari variabel bebas x. Dalam contoh 1, misalnya, derivatifnya adalah dy/dx = 3x2, atau f'(x) = 3x2, sehingga perbedaan nilai x akan menghasilkan perbedaan nilai derivatif, seperti:
f'(1) = 3(1)2 = 3  f'(2) = 3(2)2 = 12.
Nilai derivatif khusus ini dapat diekspresikan dengan cara lain sebagai
tetapi notasi f'(1) dan f'(2) jelas lebih disukai karena kesederhanaannya (Chiang, 2005: 144).

Jadi, untuk memperoleh nilai derivatif f'(1), f'(2), dan seterusnya, terlebih dahulu kita harus mendiferensiasikan fungsi f (x) agar diperoleh fungsi derivatif f'(x), dan kemudian asumsikan x mempunyai nilai khusus dalam f'(x). Sama sekali tidak diperkenankan mengganti nilai x tertentu ke dalam fungsi sederhana f (x) sebelum didiferensiasikan. Sebagai contoh, bila kita misalkan x = 1 dalam fungsi pada Contoh 1 sebelum diferensiasi, fungsinya akan berubah menjadi y = x = 1 -- suatu fungsi konstan -- yang akan menghasilkan derivatif nol dan bukan jawaban yang benar f'(x) = 3x2.

Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel