Uji Karakteristik Akar untuk Kedefinitan Tanda

Uji Karakteristik Akar untuk Kedefinitan Tanda

Situsekonomi.com - Selain menggunakan uji determinan di atas untuk mengetahui kedefinitan tanda dari bentuk kuadrat u'Du, terdapat pengujian lain yang menggunakan konsep yang dinamakan "karakteristik akar" dari matriks D. Konsep ini timbul dalam persoalan berikut.

Bila diketahui matriks n × n, D, dapatkah kita memperoleh skalar r, dan n × 1, vektor x ≠ 0, sedemikian rupa sehingga persamaan matriks
terpenuhi? Bila ya, skalar r dinyatakan sebagai karakteristik akar dari matriks D dan x sebagai karakteristik vektor dari matriks tersebut (Chiang, 2005: 288).

Persamaan matriks Dx = rx dapat ditulis kembali sebagai Dx - rIx = 0, atau
(D - rI)x = 0 di mana 0 adalah n × 1   (1.2)
Tentu saja ini mencerminkan sistem dari n persamaan linear yang homogen.

Karena kita menginginkan suatu pemecahan x yang berarti, matriks koefisien (D - rI) -- yang disebut sebagai karakteristik matriks D -- haruslah singular. Dengan kata lain, determinannya harus dibuat menjadi nol:

Persamaan (1.3) disebut karakteristik persamaan matriks D. Kedua determinan |D - rI|, setelah ekspansi Laplace, akan menghasilkan suatu polinom berderajat n dalam variabel r, maka (1.3) dalam kenyataannya adalah suatu persamaan polinom berderajat n.

Jadi, akan ada total dari n akar, (r1, ..., rn), yang masing-masing disebut sebagai karakteristik akar. Bila D simetris, seperti kasus dalam konteks bentuk kuadrat, karakteristik akar akan selalu berubah menjadi bilangan riil, tetapi bisa berupa tanda aljabar, atau nol.

Karena semua nilai r akan membuat determinan |D - rI| menjadi nol, pensubstitusian setiap nilai-nilai ini (katakan, ri) ke dalam sistem persamaan (1.2) akan menghasilkan vektor x|r = ri yang bersesuaian. Lebih pasti lagi, karena sistemnya adalah homogen, maka juga akan menghasilkan vektor yang jumlahnya tak terhingga yang bersesuaian dengan akar ri.

Tetapi, kita akan menggunakan proses normalisasi (akan kita jelaskan pada contoh di akhir pembahasan ini) dan memilih anggota tertentu dari himpunan yang tak terhingga tersebut sebagai karakteristik vektor yang sesuai dengan ri; vektor ini akan dinotasikan oleh vi. Dengan total n karakteristik akar, akan terdapat sejumlah n karakteristik vektor yang bersesuaian.

Contoh:

Carilah karakteristik akar dan vektor dari matriks
Dengan mensubstitusikan matriks D yang telah diketahui ke dalam (1.3), kita dapatkan persamaan
dengan akar r1 = 3 dan r2 = -2.

Bila akar pertama digunakan, persamaan matriks (1.2) akan mengambil bentuk
Kedua baris matriks koefisien adalah bebas secara linear, seperti yang kita perkirakan sesuai dengan (1.3), terdapat jumlah pemecahan yang tak terhingga, yang dapat dinyatakan dengan persamaan x1 = 2x2.

Untuk mendapatkan pemecahan tunggal (unik), kita normalisasikan pemecahan tersebut dengan memberikan batasan-batasan
Jadi, karena
kita dapat memperoleh (dengan mengambil akar kuadrat positif) x2 = 1/√5, dan juga x1 = 2x2 = 2/√5.

Jadi, karakteristik vektor yang pertama adalah
Demikian juga, dengan menggunakan akar kedua r2 = -2 dalam (1.2), kita dapatkan persamaan
yang mempunyai pemecahan x1 = -1/2x2.

Dengan normalisasi, kita dapatkan
yang menghasilkan x2 = 2/√5 dan x1 = -1/√5. Jadi, karakteristik vektor yang kedua adalah

Gambar oleh Gerd Altmann dari Pixabay

Belum ada Komentar untuk "Uji Karakteristik Akar untuk Kedefinitan Tanda"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel